2025年3月7日金曜日

命題論理における完全性の証明~選言標準形・連言標準形と導出原理

命題論理における完全性の証明

~選言標準形・連言標準形と導出原理

https://drive.google.com/file/d/1-1YWinahnFcNLGQRaqh8CJPpQjPtMxDo/view

できました! (上記リンクをクリックするとPDFファイル見れます)


これでレポート50作目だ!


しばらく論理学から離れて他のことに集中したい・・・


命題論理における自然演繹の完全性を自分なりに”直接的な”仕方で理解・納得したいと思っていました。


アイディアが出て→穴があって、また別のアイディアがあって・・・という繰り返しでした。


導出原理を使わずにできるかなと思ったのですが、難しかったようです。


<目次> ※()内はページ

1.(X∧¬Y)∨Y≡X∨Yを用いてトートロジーかどうかを確かめる (3)

2.分配律が必要な事例 (4)

3.裏導出原理:(X∧¬Y)∨Y≡X∨Yや分配律の応用 (5)

4.トートロジーのつくりかた (8)

5.変数が1~3つの論理式の場合 (9)

6.変数が4つ以上の論理式の場合 (13)

7.選言標準形のトートロジーを否定して連言標準形の矛盾式へ変換する (15)

8.連言標準形から演繹し矛盾を証明する (17)


<付録1> 演繹定理とドモルガンの法則 (21)

<付録2>“証明”されるがトートロジーではない?:健全性への疑問 (22)

2022年7月1日金曜日

実質含意・厳密含意のパラドクスは、条件文の論理学的真理値設定が誤っていることの証左である

新しいレポート書きました。


実質含意・厳密含意のパラドクスは、条件文の論理学的真理値設定が誤っていることの証左である

http://miya.aki.gs/miya/miya_report33.pdf


本稿は、拙著、

条件文「AならばB」は命題ではない? ~ 論理学における条件法の真理値設定の問題点

http://miya.aki.gs/miya/miya_report32.pdf 

の続編として、条件文の真理値についてさらに詳細に論じるものである。

 実質含意のパラドクス・厳密含意のパラドクス、あるいはそれに伴う(池田氏の言われるような)“違和感”は、条件文における論理学的真理値設定、とくに前件が偽ならば後件が真でも偽でも全体として真となってしまう設定それ自体に誤りがあることからもたらされている部分があるのではないだろうか。

 本稿では1~3章でいくつかの具体的事例を挙げた上で、条件文の真理値は(とくに前件が偽の場合)異なった値をとりうること、そして論理学的真理値設定に普遍性を見出すことはできないことを示し、4章以降(3章でも命題を引用している)では池田真治著「哲学演習「論理学入門」補論」(2016年)を参考にしながら、実質含意、厳密含意、伴立について分析し、条件文の真理値についてより詳細に考察してみたい。

 そして「哲学演習「論理学入門」補論」を無償で公開してくださっている池田氏に謝意を示したい。


<目次>

1.ダメットの言う「条件付き賭と真理関数的条件法を当てにする賭」は真偽関係ではない (2ページ)

2.包含関係における真理値(3ページ)

3.因果的「ならば」の場合(4ページ)

4.論理学的真理値設定は具体的事実によって支持されていない(5ページ)

5.関連性・伴立に関する誤解(7ページ)

6.結局、具体的事例をもって個別に考えるしかないのでは(10ページ)

<引用・参考文献>(11ページ)


2022年6月25日土曜日

実質含意のパラドクス・厳密含意のパラドクスの問題は、条件文の(恣意的な)論理学的真理値設定に起因しているのではなかろうか

 先日、

条件文「AならばB」は命題ではない? ~ 論理学における条件法の真理値設定の問題点

http://miya.aki.gs/miya/miya_report32.pdf

を公開したが、その続編のようなものとして、次の二つの論点についてまとめているところである。


(1)実質含意のパラドクス・厳密含意のパラドクスの問題は、条件文の(恣意的な)論理学的真理値設定に起因しているのではなかろうか

これに関しては、

池田真治著
哲学演習「論理学入門」補論(2016年)

を参考にしている。

わざわざ「第二次世界大戦が 1941 年に終戦したならば、富山は日本の首都になっている」のようなとっぴょうしもない命題(?)を引き合いに出すまでもなく、「Xが犬ならばXは動物である」のような違和感なく受け入れられそうな普通の命題に関しても、前件が偽の場合、池田氏の言われるような厳密含意のパラドクスと同様の問題が生じてしまうのである。

「Xが犬ならばXは動物である」についてよく考えてみてほしい。前件が偽のときに、命題全体が真であると言えるであろうか? 「馬が犬ならば、馬は動物である」「石が犬ならば、石は動物である」が真であると言えるだろうか? 


(2)前原氏の、演繹論理から条件法、さらには連言・選言の真理値を”証明”する手法は循環論法に陥っているのではないか

前原昭二著『記号論理入門』(日本評論社、新装版、2005年)の手法がどう見ても無理やりな”こじつけ”にしか思えないので、そこを明確に説明しておきたい。

真理値を”証明”するための論理式(一応論理学ではトートロジーと呼ばれているもの)が(論理学的演繹によって)証明される際に、前提とされる命題の真理値が暗に示されてしまっている。しかし前原氏はそこを無視して、その前提と相容れない真理値を代入し、条件法の真理値を”証明”しようとしてしまっているのだ。








2022年6月11日土曜日

条件文「AならばB」は命題ではない? ~ 論理学における条件法の真理値設定の問題点

 条件文「AならばB」は命題ではない? 

~ 論理学における条件法の真理値設定の問題点

http://miya.aki.gs/miya/miya_report32.pdf


『数学にとって証明とはなにか』(瀬山士郎著、講談社)を読んで、もともとあった条件文への違和感がさらに強まってしまったので、本稿でその問題点をまとめてみました。

論理学の専門家の方々からのご意見もいただければ幸いです。


<目次>

1.条件文は命題ではない? (1ページ)

2.対偶にしてみると条件文の真理値への違和感が際立つ(4ページ)

3.矛盾から任意の命題が無条件に導出されるのか? (5ページ)

4.A→(B→A)とはいったい何なのか? (7ページ)

5.条件法における論理学的真理値設定の普遍性を正当化する根拠は見当たらない:ダメットの条件法真理値に関する見解について (8ページ)

6.ナンセンス文は真とは言えない (11ページ)

7.論理は現実との関連を失えばその真偽の根拠を失う (13ページ)

8.トートロジーは現実から見いだされるもの (14ページ)

<引用・参考文献> (16ページ)


2022年5月22日日曜日

論理学は哲学の起点ではなく、論理の根拠を追求するのが哲学

 M.ダメット『真理という謎』(藤田晋吾訳、勁草書房、1986年)掲載の「フレーゲの哲学(1967)」(44ページ~)より・・・

フレーゲにとっては論理学が哲学の起点であった。もしわれわれが論理学を正しくとらえないならば、他の何ものをも正しくとらえられないのである。他方、認識論はと言えば、それは哲学の他のどの分野にも先立ちはしない。われわれは、まず始めに認識論的研究を企てるなどということをしなくても、数学の哲学、科学哲学、形而上学、あるいはその他われわれの関心をひくいかなることでも、やってゆけるのである。(ダメット、47~48ページ)

・・・しかし論理というものがいかにして「正しい」と言われるのか、その根拠の問題が残る。私たちの日常生活においては、論理学的論理が適用できる状況とできない状況とが実際にある。

 そしてフレーゲ自身、(それが実際に正しかったかどうかは別にして)論理学というものを成立させるための様々な用語や考え方というものを細々と整理し説明しようとしているのである。論理学というものが成立するための条件というものを模索していたのだと言えよう。

 わざわざ意味とか意義とか指示とか対象とか述語とか概念とか、いろいろな用語の定義をし、論理を成立させるための前提条件を整えようとしているのである。これが「認識論的研究」でなくてなんであろうか?

 さらに結果として、以下のことが不可能であるということも明らかとなった。

もし証明が完全に形式化されたならば、証明の正しさを判定するために直観に訴えるということは不要になるであろう(ダメット、49ページ)

・・・フレーゲの考え方は循環論法に陥るだけである。論理を起点にすればおのずからそうなってしまうのである。


2022年5月20日金曜日

言葉に対応する具体物・具体的知覚経験なしに論理など導きようがない

 M.ダメット『真理という謎』(藤田晋吾訳、勁草書房、1986年)掲載の「フレーゲの哲学(1967)」(44ページ~)を読んでいるだが、全く共感・賛同できない・・・


「語の意味を孤立させて問い求める」という誤謬”(ダメット、58ページ)というが、どこが誤謬なのだろうか? “文を構成している語を理解することによって事実上その文の理解に達する”(ダメット、58ページ)のだから、それぞれの語の意味を孤立させて問い求めることも普通にできるはずであるし、そこに何の問題もなかろう。

当の語を含む種類の文に目を向けることなしにその語の意味に神経を集中しようとすることは、語が何か具体的な対象を指示するというまれな場合を除けば、その語の意味としてある心像を選びとらせることになろう、と。(ダメット、58ページ)

・・・と言うが、そもそも意味のある語には「具体的対象」というものがある。具体的対象が「意味」なのである。それは当然私たちの知覚経験として現れる。これは疑いようもない事実である。そしてそれが目の前になければ、当然心像として呼び起こされるだけである。心像もやはり”具体的”な知覚経験であることに変わりはない。そこに何の問題があるのだろうか? 

そもそも具体的な対象を指示することが「まれ」という説明にも同意しかねる。具体的対象のない言葉にいったい何の意味があるのだろうか? 

具体的対象とは、別に実在物でなくても良い(もちろん実在物でも良い)。触感や匂いや特定の精神状態でも良い、いずれにせよ私たちの知覚経験として具体的に現れるものなのである。心像も当然具体的対象に含まれうる(フレーゲはそうは考えていないようだが)。

そもそも心像も現れないような語に意味などあるのだろうか? むしろそれは「矛盾」と呼ばれるものなのではなかろうか。例えば「丸い四角」とか「平面で交わる平行線」とか「4本の線分からなる三角形」とか言う場合である。要するに「具体的対象」の現れない語のことである。

(※ もちろん未だ知らないものについても心像は現れないだろう。また、正百角形といったものは漠然としたイメージしか現れず、正確な心像を描くことは不可能であるが、それを実際に描くことは可能だ、それは実際に作りだすことができると確信されているようなものもある。具体的実在物になりうるという確信がある場合である。具体的実在物ということは、何らかの形で私たちが実際に目撃することが可能であるということでもある。)

そして、文の中から共通する論理というものを見出そうとするのであれば、命題文に含まれるそれぞれの語が明確な定義、あるいはあいまいさのない語の意味の厳密さというものが求められる。

それに代えてわれわれがなすべきことは、その語が現れるもっとも一般的なかたちの文の真理条件を規定することである。そのような規定は完全文に関係することだから、われわれが問題になっている語の明示的定義を経て進まねばならないとする理由はない。(ダメット、58ページ)

・・・このあたりの説明もよく分からないのである。たとえば、「晴れたならば散歩に行く」というA→Bといった命題(とりあえすそう呼んでおく)にしても、「晴れ」とは何か「散歩」とは何か、それぞれの語の意味を明確に定義しておかねば論理そのものを一般化できない。家を少し出れば散歩なのか、ある程度の時間歩かないと散歩にならないのか、小走りはどうなのか・・・

それは排中律においてもそうである。「彼は優しいか優しくないかのどちらかである」と言われても、優しいという言葉が非常にあいまいである。どちらとも言えないようなあいまいさがあれば排中律は成立しない。

完全文の真理条件を規定するためには、文中の語がそれぞれきっちり定義されている必要があるといえる。


「概念と対象」という「二階の概念」と「一階の概念」(ダメット、58ページ)という考え方にも賛同できない。そもそも「概念」というものがどこにもない。「性質」といえどもそれは”具体的対象”あっての性質である。述語には述語に対応する”具体的対象”というものがある。赤いとか、柔らかいとか・・・何らかの具体的対象・具体的知覚経験を見出すことが出来て初めてその言葉に意味があると言えるのである。そしてそこにあるのはあくまで言葉と対象(具体的知覚)のみであって、そこに一階も二階もないのである。

 前原氏は、

 ある性質Fをもつ個々の具体的なものではなしに,その性質Fのみをもつ抽象的なものを一般的に考えた場合,それを<概念>とよぶのでありますが,われわれは,そのような,性質Fをもつものという<概念>と,性質Fそのものとを同一視するのであります.(前原昭二著『記号論理入門』日本評論社、2021年、8ページ)

<概念>というものは確かに抽象的なものではありますが,それにもかかわらず,われわれに何かある具体的な<もの>を連想させます.<性質>とは,そのような連想をたち切った,より高度の抽象性をもったものであります.(前畑著『記号論理入門』、8ページ)

・・・と説明されているが、本当にそうだろうか? 性質は“抽象的”なものなのだろうか? 先に述べたように性質であろうと、ある言葉で表されたものには何らかの具体的対象物が現れうる。ヒュームの言うように、抽象観念(「観念」という言葉に問題はあるものの)といえどもその言葉に現れるものは具体的知覚経験なのである。連想をたち切られるような言葉はむしろ「無意味」なもの(あるいは私たちがまだ知らないもの)、その言葉を用いて論理を導くことなど不可能なのではなかろうか。



命題論理における完全性の証明~選言標準形・連言標準形と導出原理

命題論理における完全性の証明 ~選言標準形・連言標準形と導出原理 https://drive.google.com/file/d/1-1YWinahnFcNLGQRaqh8CJPpQjPtMxDo/view できました! (上記リンクをクリックするとPDFファイル見れます) これ...